模拟高尔顿(Galton)板试验

  高尔顿板试验是由英国科学家Galton设计的,它是验证频率稳定性的著名实验,试验模型如下:

  在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱型小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.

  如果把球槽编号,就可以考察球到底是落在第几号球槽中,重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多,堆积的高度也会越来越高,各个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.

  为了更好地考察随着试验次数的增加,落在各个球槽内的小球分布情况,我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律,以球槽的编号为横坐标,以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标,可以画出频率分布直方图.

  随着重复次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线,这条曲线就是(或近似地是)下面函数的图象:

其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线

  如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽,并沿其底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度,用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量,X落在区间(a,b]的概率为

即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条X轴的垂线,即x轴所围成的平面图形的面积,就是X落在区间(a,b]的概率的近似值.

  一般地,如果对于任何实数ab,随机变量X满足

  则称随机变量X服从正态分布(normal distribution),正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).

  经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布,例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布.