教学方法与手段

在日常教学和研究中,我们以培养学生的创新能力为宗旨,努力探索和改进高等代数的教学。下面从以下几个方面具体阐述我们对高等代数教学方法和考评方式等具体的改革与实践。

1.   以问题驱动创设情境激发学生对高等代数学习的兴趣

以问题驱动,激发学生好奇心和发现欲,使学生从中发现和提出问题,进而分析问题和解决问题。例如,当卫星进入太空之后,需要校正其位置。根据雷达屏幕提供的数据,转化成分块矩阵的处理问题。学生们就有了学习分块矩阵的动力。又如,通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆,等等。学生们看到了高等代数中的这些内容的具体应用,同时又看到它们自身的数学魅力,自然产生了对高等代数的浓厚学习兴趣。

2.         以再现数学发现过程促进学生科学思维的形成

教科书中一般是看不到概念的形成过程、定理的发现过程、解题的探索过程,只看到完整的结论和顺理成章的严格证明。在教学过程中,我们通过以问题开路,尽可能把数学原理、定理和方法的发现过程传授给学生,引领学生通过自己的观察和分析运用已有知识去发现数学,而不是被动地向学生“推销”前人所构建的数学体系,甚至在课堂上,有意展示尝试错误思维的过程,以此来指导、调节、影响学生利用数学思维的活动规律去发展自我。这种发现与探究式教学,对学生走进数学、解剖数学、理解数学、驾驭数学有极大帮助,达到了以实现学生对知识的自主发现与探究来提高创新能力的目的。例如,我们在讲解矩阵的对角化时是这样引入的: 科学的根本任务是化繁为简,矩阵的简单形式是对角形。相似变换是一类重要的变换。我们通过相似变换如何将一个方阵 A 化为对角形(即对角化)就是一个很自然提出的重要问题。这一问题的数学表示就是如何求可逆矩阵 P ,使?进一步,将 P 列分块,即,则,于是,有. 这样,只要把求出来,问题就解决了。为了方便,我们就称 A 的一个特征值, A 的属于特征值的一个特征向量。注意到 P 可逆,则线性无关。因此,我们马上得到这样一个重要结论:矩阵可对角化的充要条件是其有个线性无关的特征向量。而求特征值和特征向量就是求齐次线性方程组的基础解系,从而有.于是又产生了特征多项式和特征方程等一系列问题。 这样,我们实际上是带领学生很自然地将上述知识又重新发现了一遍,学生们很容易也很自然地就可得到相应的结果。

3.         以重视数学思想的传授来激发学生的创新动机和培养创新精神

我们在教学中,将教学内容自始至终突出矩阵分块思想、标准单位向量思想、初等变换思想、升阶与降阶思想、矩阵特征值思想、矩阵的各种等价标准形(矩阵分解)思想、线性子空间思想、同构转化思想以及将奇异阵转化为非奇异阵等核心思想。例如,初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法,它贯穿于高等代数理论的始终,应用初等变换证明命题过程容易被接受,同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。我们可利用初等变换计算行列式的值、求多项式的最大公因式、求逆阵、解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量组的线性相关性、求向量组的极大无关组与秩、化二次型为标准形、求特征子空间、生成子空间、正交补空间等的基、求线性变换的值域与核等等,这种思想方法的实质是将问题化繁为简,化抽象为具体,并且保持事物的某些本质特征不变。因此,伴随着教学内容的深入与延展,将其思想内涵及时地加以展现、丰富,不仅可以使学生把握知识学习的脉络,还可以体会到不同事物的内在关系。

4.         引导学生实现数学再创造的自主达成

例如,在讲解线性空间的定义时,我们首先从数域上的全体矩阵、全体多项式、一闭区间上的全体连续函数等具体的例子中,抽象其共性:集合中有加法运算和数乘运算,并且满足八条性质,最后得出了线性空间的定义和性质。然后,我们问学生就线性空间中的这两种运算是否还有什么想法,有个同学就问能否定义向量的乘法?这时,我们及时引导学生:矩阵空间中有乘法运算,乘法运算与加法运算的关系是什么?一数与两个矩阵的乘积作数乘时可能出现的情况是什么?这个学生经过观察考虑得出了这样的结论:矩阵的乘法和加法满足分配律,一数与两个矩阵的乘积作数乘时,这个数可以自由出现在矩阵的左右位置。我们又及时点拨:请把矩阵改成一般线性空间的向量,写出上述结论。当然,学生很容易完成。这时,我们告诉学生:你现在变成了古代的一个数学家,发明了“代数”的定义。类似这样的例子,在我们的日常教学中有不少,通过这样经常性的训练,使得学生愿意并善于思考如何运用已有的知识去发现后面要学习的新知识,就是将课本的知识又重新发现一遍,从而培养了学生发现问题和提出问题的能力,进而培养了他们的创造能力。

5.         以研究性、探索性和开放性课题为课外作业来锻炼学生的自学和科研能力

研究性、探索性和开放性课题的课外作业主要包括如下几个部分:探索性专题讨论;总结性专题报告;攻关性难题;利用上海大学4学期制的条件,在短学期开设高等代数有关的最新研究成果的主题讲座和相关的数学软件课程。如MATLAB软件,以线性代数作为学习MATLAB的切入点,不仅能很好地学习MATLAB软件,而且能进一步巩固线性代数的基本知识和基本方法。(5)挑选优秀本科生提前进入教师的研究小组,开展适当的科学研究。在课题申请人王卿文的研究小组中,有的本科生还发表了SCI论文。

6.   充分利用数学建模的教学模式

即根据教学内容,从现实生活中选取实际问题,针对其中包含的数学问题,供学生讨论,引入教学课题;教师和学生根据现实问题建立教学模型,分析模型,经过教学过程得出数学模型解;然后再转回实际问题,利用数学理论给予解决。使用此教学方法,可优化教学模式,强化学生的解决问题的能力,提高学生的兴趣,加强学科之间的联系,提高学生建模的科研能力。

7.   充分利用规定的教学时间,引导学生深入理解并识记教材

譬如在讲解矩阵的特征值和特征向量的关系时,项目申请人王卿文教授设计了一个形象的比喻:矩阵就是一棵树、特征值是树枝、特征向量是树叶。显然,树枝长在树上,树叶长着树枝上,一个树叶只能长在一根树枝上,但一根树枝上面可生长多个树叶。也就是说,特征值是属于一个矩阵的,一个特征向量只能属于一个特征值,但一个特征值可以有多个特征向量。有了这个形象的比喻,学生们对特征值和特征向量的关系就会终生不忘。

8.   应用多媒体课件,结合课程特点,将板书和多媒体展示相结合

数学的严密思维训练,要求我们在板书的过程中,给学生有一个思考过程,所以要以板书为主。但是一些内容板书非常繁琐,需要多媒体展示;一些数学概念的背景和一些知识网络,可以用多媒体演示。

9.   以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等代数精髓的动力

经过多年实践,我们形成了如下考评方式及其有机结合:传统考试;水平考试,考试成绩分优、良、中、合格、不合格;半开卷考试,每个学生写出自己认为最重要的公式定理或知识要点或典型例题与习题,学生必须把所有的知识点都看一遍之后才能取舍要写的内容。这一过程,使学生对所学课程内容重新认真思考一遍;小论文和用MATLAB等软件上机进行解决实际问题测试。上述考评方式既能全方位测试学生对所学核心内容的理解、掌握及运用程度,又能充分调动学生学习的积极性,加大学生掌握核心思想和方法的内动力。上述考评方式既能全方位测试学生对高等代数核心内容的理解、掌握及运用程度,更为重要的是,它能充分调动学生学习的积极性,加大学生掌握高等代数核心思想和方法的内动力。