教学内容

1 结合本校的办学定位、人才培养目标和生源情况,说明本课程在专业培养目标中的定位与课程目标

本课程是数学系本科两个专业、数学物理力学综合班学生、自强学院学生最基本的课程。上海大学数学系是具有数学一级学科博士点和博士后流动站的研究型综合性大系。数学专业已经成为受学生欢迎的学科。数学学科有完整系统的课程体系和教学要求,按照研究型学生的目标培养学生。结合我校培养具备扎实的专业基础和动手能力强的创新人才的目标,本课程教学分为三个学期完成。课程的培养目标是使学生掌握高等代数的基本知识、基本方法和基本思想,并了解代数学发展的历史与背景,为学生进一步学习数学打下坚实的代数基础。教学过程中还要求培养学生具有建立数学模型与计算、分析问题的能力及一定的创新能力。

2 知识模块顺序及对应的学时

内容模块

学时(总计150)(讲课)

矩阵代数

行列式

线性空间(线性方程组作为线性空间的一节)

多项式理论

线性变换理论

Jordan标准形

欧氏空间理论

二次型理论

15

15

30

20

25

15

15

15

 

3 课程的重点、难点及解决办法

高等代数的基本内容就是以矩阵为工具, 研究向量空间。主要分为两部分:一是基本的工具,如矩阵、行列式、线性方程组、多项式、二次型等。另一部分是研究线性空间的代数结构。从元素的视角看,研究向量间的线性表示,线性相关性,基向量;从子集角度看,研究子空间及直和分解;从空间之间的关系来研究空间结构,即线性映射,线性变换,线性映射的核与值域,Jordan标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。

在基本工具部分中,矩阵是重点,它贯穿于整个高等代数的始终,可以说,高等代数实际上就是矩阵代数。高等代数的另一部分中线性空间及线性变换是重点。从某种意义上讲,线性空间是3维宇宙空间抽象化的推广。所以,高等代数最大的难点就是高度抽象。高等代数是学生从具体的数学到抽象公理化的数学的一个重要过渡,一个必须通过的难关。既让学生学起来感觉容易又在学习中培养了抽象思维和创新能力是我们改革和建设这一课程所要努力解决的核心问题。为此,我们从以下几方面着手解决:

1.        合理安排教学内容的先后顺序。大多数教材先讲多项式、行列式、线性方程组,然后再讲矩阵。这样的安排违背了先易后难、循序渐进的原则,学生感到多项式理论特难掌握,行列式理论特抽象,线性方程组很复杂。其实,如果先讲矩阵代数,用矩阵的方法去处理行列式和多项式的一些理论会省时省力,且学生非常容易掌握矩阵理论。

2.        经典内容现代化。我们利用最新的研究成果将经典的内容进行最为简洁的改造处理。如传统教材中线性方程组理论这一章近50页的内容利用我们的最新研究成果只须将其看成线性空间的一节仅用6页的篇幅就可完成,而且通俗易懂,学生便于掌握。

3.        用矩阵理论处理多项式代数。目前几乎所有的教材都是利用了纯多项式理论自身的方法处理问题,没有使用矩阵去处理,造成学生认为矩阵在多项式理论中无用武之地。我们利用矩阵给出多项式的运算,利用多项式矩阵的初等变换给出了求多项式最大公因式和最小公倍式的简便方法等,学生非常容易接受,更体会到矩阵工具的强大威力。

4.        注重理论与其背景的联系、我们将原本抽象的数学概念,从实际应用中引入,并增加应用实例。

5.        注重基本概念、强化核心概念。在教学中,我们启发学生对所研究的对象进行分析,讲清概念的形成过程,阐明其必要性和合理性。这样学生清楚了所讲概念的产生背景,就会淡化数学概念的高度抽象性,消除其对数学概念的恐惧,从而激发了对数学的兴趣。核心概念能够抓住本质,如“线性相关性”这一概念在高等代数中的地位相当于“极限”在数学分析中的地位。

6.        加强高等代数核心思想与方法的讲授。如等价分类的思想、分解结构的思想、同构对应的思想。把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开,同时将必要的代数方法做尽可能详细的介绍。讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系,使学生即能从几何的观点更好地理解内容,又可把握简洁和直接的代数方法。

7.        突出高等代数与解析几何和数学分析这三大基础课之间的联系。高等代数、数学分析、空间解析几何是数学专业的3大基础课。高等代数的研究对象就是高维的解析几何,空间解析几何是3维空间的线性代数,数学分析是将非线性的问题局部化,变成线性的再利用线性代数的思想去研究。我们注意从几何直观或分析背景引出某些高等代数讨论的问题;在讲述概念时列举几何和分析的例子;用高等代数的知识解决几何与分析中的某些问题。

8.        适当地使用多媒体可视化。通过动态效果将抽象内容融入具体中。比如线性变换的讲授可以通过空间图形的运动来加以说明。

9.       突出人文精神。教学中我们有机地穿插一些数学家小传,让学生了解数学家在数学发展史上的贡献。加强科学精神与人文精神的密切结合,体现数学本身就是一种文化。 

2-4 实践教学活动的设计思想与效果

每学期4学时用于学生上机实习,内容是行列式、矩阵运算、线性方程组求解、特征值计算、特征向量计算、线性变换、多项式根求解等,目的是使学生能够运用MathematicaMatlab等软件,体验数学建模、计算等一系列问题的解决过程。这些内容深受学生欢迎。